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El capítulo 10 de Futurama, “El
prisionero de Benda” (The Prisoner of Benda, emitido el 19 de agosto de 2010) hace
referencia a un antiguo libro titulado
“El prisionero de Zenda” - el cual habla de cómo un rey cambia de vida con un
campesino- incluye una demostración relacionada con las permutaciones del
matemático y guionista Ken Keeler,
graduado con honores de Harvard (1990), quien dejó la investigación para dedicarse a la
televisión, destacando principalmente como escritor y productor en Los Simpson y Futurama.
El Teorema de Keeler explica el cambio de mentes y cuerpos,
este teorema recibió un reconocimiento de la Academia Americana de Física y publicaciones como The Futurama of Physics. APS Physics ,Vol 19,
No 5, 2010.
El
argumento
Una flamante maquina creada por el Profesor Farnsworth, permite intercambiar
mentes entre dos cuerpos; pero esta máquina tenía un defecto, una pareja de cuerpos sólo
puede intercambiar mentes una vez. Este hecho da a lugar a toda clase de cómicas
situaciones con los cambios de mentes entre los personajes. No obstante, las matemáticas
al rescate: mediante una demostración constructiva se logra que todos
los personajes vuelvan a sus propios cuerpos con la ayuda de únicamente dos
cuerpos auxiliares.
Explicación
Teorema de Futurama:
No importa cómo un grupo de gente haya intercambiado sus mentes y sus cuerpos,
siempre es posible que cada persona recupere su cuerpo usando dos personas
extra.
Sea A un conjunto finito y, sean X e Y dos elementos que no
pertenecen a A.
Toda permutación de A se puede reducir a la identidad mediante una sucesión de transposiciones de
A∪{X,Y}
Cada una, de las cuales contienen a X o Y
X e Y son dos personajes nuevos con los cuales se demuestra esta
teoría:
Como toda permutación, se descompone en productos de ciclo distinto, y bastaría demostrar el teorema para un ciclo de π sin pérdida de generalidad.
Lo anterior, se
explica de manera sencilla, mediante las
siguientes relaciones: el número que no está entre paréntesis será el cuerpo, y
el número que está entre paréntesis, es la mente del portador.
El personaje 1(1) cambia mentes con el personaje 2(2), pero al no poder intercambiar su mente entre ellos, entonces entran los personajes 3(3) y 4(4), quienes cambian mentes entre ellos. 4(3) junto al personaje 3(4) cambian con 1(2) y 4(3) respectivamente, pasando a ser 1(3) y 4(2) y además 3(1) y 2(4). Estos para recuperar sus mentes tienen que intercambiar 4(2) con 2(4) y 1(3) y 3(1), los cuales volverían a quedar al final como 1(1) 2(2) 3(3) 4(4).
En conclusión, el
teorema queda demostrado, dejándonos una grata lección, en los contextos más
simples -como una serie animada- podemos aplicar un teorema que por sí mismo no es de fácil
comprensión.
